Построение трендовых моделей и прогнозирование во времени

Для того, чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой:

ŷ=f(t)

где: ŷ – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению

Определение расчетных (теоретических) уровней ŷi производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отражает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция – прямая

ŷ=,

где: – параметры уравнения;

t – время

показательная функция –

ŷ

степенная функция – парабола второго порядка

ŷ= .

При выборе вида кривой для выравнивания динамического ряда возможно использование метода конечных разностей, который заключается в следующем:

Если общая тенденция выражается линейным уравнением ŷ=, тогда получаем постоянные первые разности: ; нулевые вторые разности: и проверяются по всей совокупности в целом. Если тенденция выражается параболой второго порядка ŷ, то получим постоянные вторые разности, нулевые – третьи.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

Σ(ŷi – yi)²→min

где: ŷi – выровненные(расчетные) уровни

- фактические уровни

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида ŷ=. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

поиск упрощается, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю: =0. при нечетном числе уровней, уровень, находящийся на середине ряда, принимается за начало отсчета времени. Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1; -2; -3 и т.д.), а ниже - со знаком плюс (+1; +2; +3; и т.д.).

Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -1; -3; -5 и т.д., а нижней +1; +3; +5 и т.д. при этих условиях =0 и система нормальных уравнение преобразуется следующим образом:

Если вторые разности примерно одинаковы, то для выравнивания может использоваться парабола второго порядка:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:

Для оценки изменения показателей во времени воспользуемся функцией Мастер диаграмм электронных таблиц Excel. Рассмотрим трендовые модели следующих показателей: протяженность внутренних водных путей, тыс. км; пассажирооборота, млрд. пассажиро-километров; грузооборота, млрд. т-км. Для оценки качества модели используем скорректированный коэффициент детерминации, чем больше величина показателя приближается к единице, тем лучше модель описывает эмпирические данные. Как следует из рисунка 3 для прогнозирования параметров линии тренда показателя протяженности внутренних водных путей подходит линейная модель вида y=5,32t+ 78,82(скорректированный коэффициент детерминации R² = 75%). Т.о. величина данного показателя в 2008 -2009 гг. будет равна:

yt=2008=5,32t + 78,82=5,32ּ6+78,82=110,74 тыс. км

yt=2009=5,32t + 78,82=5,32ּ7+78,82=116,06 тыс. км

Информация по теме:

Навигационно-географический очерк
На участке от меридиана 8˚30Е до мыса Альмина берег приглуб , в 3 милях от береговой линии глубины почти всюду более 50 метров , а в отдельных местах превышают 1000 метров. Грунт на больших глубинах преимущественно желтый ил и желтая глина, а вблизи берега ил , песок, ракушка, местами коралл и ...

Ремонт тормозных механизмов
При капитальном ремонте тормозного механизма заменяются новыми: -резиновые уплотнительные кольца разжимного кулака в кронштейне; после их замены уплотнительные кромки кольца не должны иметь каких-либо повреждений; -металлопластмассовые втулки разжимного кулака, усилие запрессовки втулок должно быть ...

Детали рулевого привода
Рулевой привод служит для передачи усилия от рулевого механизма к колесам. К деталям рулевого привода с установкой колес на общей оси относятся (см. рис. 3): рулевая сошка 5, продольная тяга 6, рычаг 7 продольной тяги, рулевые рычаги 5 поворотных кулаков 11 и поперечная тяга 9. Рулевая сошка одним ...